El esquema axiomático de especificación

febrero 15, 2007 at 1:06 am (akurion3, representa)

El esquema de especificación resulta ser una versión limitada o débil del axioma de Frege. Para este último, era posible tener un conjunto cuyos elementos satisfacían cierta propiedad. Con ello Frege garantizaba demasiado, y daba un lugar en su sistema a paradojas como la de Russell, entre otras. Por otra parte, el esquema de especificación va de acuerdo con una doctrina de reducción del tamaño. Permite obtener conjuntos a partir de otros, y cuyo tamaño es menor que el de aquellos de los que han sido obtenidos. Esto implica que, necesariamente, contemos con conjuntos previamente dados. Por tanto, nunca es posible pensar en la fórmula , pues el conjunto x no puede ser obtenido sin más que sí mismo. La paradoja de Russell surge precisamente de considerar que conjuntos muy grandes pueden ser obtenidos de forma gratuita sin más que especificar cuales son sus elementos. Otras paradojas que tienen que ver con el gran tamaño de los conjuntos, quedan excluidas de ZF mediante el esquema de especificación. Ahora bien, el calificativo de esquema se debe a que no es un único axioma, sino que este afirma (metamatemáticamente) que cualquier expresión de la forma

donde φ(a) es una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos es un axioma de ZF. Así, si consideramos la existencia de un conjunto x como un axioma, el conjunto vacío sería también un axioma resultante de aplicar el esquema de especificación al conjunto x con la fórmula .

El esquema de especificación no es independiente en ZF, pues se deduce del esquema de reemplazo, introducido por Fraenkel y Skolem el mismo año y de forma independiente.

http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel#El_esquema_axiom.C3.A1tico_de_especificaci.C3.B3n